Tentativas 24

Desde mis estudios de Exactas (como oyente) desarrollé una especie bastante ortodoxa de platonismo matemático, una visión de las matemáticas de las que discrepaba amablemente mi maestro Josep Pla i Carrera.

Creía que los objetos matemáticos formaban una realidad objetiva, independiente de nuestras construcciones mentales. No eran creaciones arbitrarias del espíritu humano, sino entidades descubiertas, de modo análogo a como los objetos físicos son descubiertos en la experiencia. Asimismo sostuve que la intuición matemática no era algo místico en un sentido peyorativo, sino una forma de percepción racional que nos permitía acceder a una realidad no empírica.

El conocimiento matemático, en este sentido, implica una especie de percepción intelectual. No es una percepción sensorial, sino una captación directa de estructuras que no dependen de nosotros. Cuando comprendemos un concepto matemático —por ejemplo, el de número natural o conjunto— no lo estamos inventando, sino que nos ponemos en relación con algo que ya está ahí, aunque no en el espacio ni en el tiempo, insisto.

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A. Gillies hizo una defensa crítica del realismo matemático:

«El platonismo matemático sostiene que las entidades matemáticas existen independientemente del pensamiento humano. Esta tesis, aunque metafísicamente exigente, parece estar respaldada por la práctica matemática misma. Los matemáticos no actúan como inventores libres, sino como exploradores de un dominio que ofrece resistencia, que impone restricciones, que revela verdades inesperadas. Si las matemáticas fueran una construcción arbitraria, no se explicaría la profunda sensación de descubrimiento ni la objetividad intersubjetiva de sus resultados».

Y añade:

«El éxito de las matemáticas en la ciencia —su capacidad para describir estructuras del mundo físico con una precisión extraordinaria— constituye un argumento indirecto a favor del realismo. No es necesario adoptar un platonismo ingenuo; pero negar toda forma de existencia independiente a los objetos matemáticos parece empobrecer nuestra comprensión tanto de la matemática como de su eficacia». (An Aristotelian approach to mathematical ontology. In Ernest Davis and Philip J. Davis (Eds.) Mathematics, Substance and Surmise. Views on the Meaning and Ontology of Mathematics, Springer, pp. 147-176)

Luca Incurvati ofrece un platonismo analítico, semánticamente sofisticado:

«La objetividad de las matemáticas no puede reducirse a convenciones ni a reglas inferenciales. Cuando afirmamos que un enunciado matemático es verdadero, no estamos simplemente siguiendo una regla, sino describiendo una realidad abstracta. El desafío principal para el platonismo no es su ontología, sino su integración en una teoría general del significado y del conocimiento. Sin embargo, cualquier alternativa que renuncie a la referencia a objetos abstractos enfrenta dificultades aún mayores para explicar la verdad matemática», Conceptions of Set and the Foundations of Mathematics. 2020, Cambridge University Press, xvi + 238 pp. pág. 133.

Sin olvidar a Donald A. Gillies:

«El matemático, en su práctica cotidiana, se comporta como si estuviera investigando una realidad independiente. No decide arbitrariamente qué es verdadero, sino que busca descubrirlo. Esta actitud no es una ilusión metodológica, sino una indicación de la naturaleza misma de la matemática. El platonismo proporciona una explicación natural de esta práctica: los objetos matemáticos existen, y las teorías matemáticas son intentos de describir sus propiedades».

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Mis propias especulaciones al respecto sobre la naturaleza de las matemáticas se han ido modificado a lo largo del tiempo desde un realismo a cierto formalismo matizado. Creo que una teoría matemática es un sistema formal constituido por signos, axiomas y reglas de inferencia; la verdad matemática se reduce a la derivabilidad sintáctica dentro de ese sistema. Los números, los conjuntos, son ficciones útiles, marcas en un papel.

Esta nueva filosofía matemática aniquiló mi teísmo, modificó mi ontología. Grosso modo, hoy tiendo a pensar que una teoría matemática no es sino un sistema formal: signos, axiomas, reglas de inferencia. En ese marco, la verdad no es una adecuación a un dominio abstracto, sino la consecuencia de una derivación correcta. Los números, los conjuntos —aquellas entidades que antaño me parecían casi tan reales como los cuerpos— han quedado reducidos a ficciones útiles, a inscripciones gobernadas por reglas.

Y, sin embargo, algo persiste. Porque incluso ahora, cuando reduzco las matemáticas a manipulación simbólica, no logro disipar del todo la impresión —tenaz, casi obstinada— de que, bajo esa sintaxis, hay una necesidad que no hemos inventado. No sé.